Bifurcation and chaos near sliding homoclinics

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Oggetto del lavoro (traduzione)

Tra i fenomeni più affascinanti che ricorrono in dinamica non lineare c'è il comportamento caotico delle soluzioni con la conseguente dipendenza sensitiva dai dati. Spesso l'esistenza di questo tipo di comportamento delle soluzioni si prova verificando l'esistenza di un punto omoclino trasversale  per la mappa periodo (corrispondente ad una soluzione omoclina trasversale dell'equazione non lineare) con conseguente ferro di cavallo di Smale. E' semplice esibire esempi concreti di sistemi autonomi con un punto omoclino, ma il carattere autonomo del sistema esclude la trasversalità. Quando il sistema non lineare è ottenuto aggiungendo ad un'equazione non lineare autonoma una piccola perturbazione non autonoma, la teoria di Melnikov rappresenta uno strumento potente per provare l'esistenza di una soluzione omoclina trasversale. Sono anche note estensioni di questa teoria a sistemi non lineari regolari quasi periodici. Recentemente, a causa della loro applicabilità a situazioni concrete, come ad esempio in sistemi con impatto o con "dry friction" o in teoria del controllo, o in elettronica, economia, medicina, biologia, si sono iniziati a studiare sistemi non lineari a coefficienti discontinui. In questo lavoro applichiamo metodi perturbativi a un equazione con discontinuità la cui parte non perturbata possiede una soluzione omoclina "sliding" ossia che, per un certo intervallo di tempo, appartiene alla varietà di discontinuità. Si prova che se la perturbazione è quasi periodica e soddisfa una certa condizione di tipo Melnikov allora il sistema perturbato presenta comportamento caotico.

Job task

Among the most fascinating phenomena which may occur in nonlinear dynamics is the appearance of chaos with the consequent sensitive dependence on initial conditions. Usually the existence of chaotic behavior of smooth nonlinear systems (SNS) is associated with the existence of a transversal homoclinic point of the period map with the corresponding invariant Smale horseshoe. A utonomous SNS  with a h omoclinic point are quite easily found, but, in the autonomous case, transversality does not hold. When the SNS is a small amplitude, periodic perturbation of an autonomous equation with a homoclinic orbit, Melnikov theory has proved to be a very powerful method to prove existence of a transverse homoclinic orbit. Estensions of this result to an almost periodic perturbation are also known. Recently researchers have drawn their attention to the study of discontinuous (non-smooth) differential equations because of their occurence in several applied problems such as in mechanical systems with dry frictions or with impacts or in control theory, electronics, economics, medicine and biology. Attempts have been made to prove chaotic behaviour of differential equations with discontinuous right-hand sides. In this paper we apply perturbative methods to a discontinuous NS whose unperturbed autonomous part possesses a sliding homoclinic orbit (that is a part of which belongs to the discontinuity manifold)  and prove that, if the perturbation is almost periodic and satisfies a certain Melnikov-like condition, the perturbed system behaves chaotically.

Referente:

Prof. Flaviano Battelli

Dipartimento di Scienze Matematiche
Facoltà di Ingegneria

tel: 071 220 4885
e-mail: f.battelli@univpm.it